混合偏微分のシュワルツ・クレロー対称性とヘッセ判定法

0でない小さな $h, k$ に対し、二階差分 $\Delta(h,k) = f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0+k) + f(x_0,y_0)$ を考える。一変数の平均値の定理をまず $[x_0, x_0+h]$ 上の $g(x) = f(x,y_0+k) - f(x,y_0)$ に適用し、次に $y$ に沿って $f_x$ に適用すると $\Delta(h,k) = hk\,f_{yx}(c_1, d_1)$ が得られ、逆順で適用すると $(x_0,y_0)$ に収束する中間点に対して $\Delta(h,k) = hk\,f_{xy}(c_2, d_2)$ が得られる。両者を等置して連続性のもとで $(h,k) \to (0,0)$ とすれば $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)$ が示される。

$\nabla f(x_0,y_0) = \mathbf{0}$ となる臨界点では、テイラーの公式より $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{1}{2}Q(h,k) + o(h^2+k^2)$ となる。ただし $Q(h,k) = f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2$ である。$f_{xx} \ne 0$ のとき平方完成により $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ を用いて $Q(h,k) = \frac{1}{f_{xx}}\left[(f_{xx}h + f_{xy}k)^2 + Dk^2\right]$ と書ける。$D > 0$ ならば角括弧内の和はすべての $(h,k) \ne (0,0)$ に対して正となるため、$Q(h,k)$ の符号は $f_{xx}$ の符号と一致する($f_{xx} > 0$ で極小、$f_{xx} < 0$ で極大)。$D < 0$ ならば $Q(h,k)$ は原点を通る異なる直線上で正負両方の値をとり、鞍点となる。