行列式による正則性の判定条件

($\Rightarrow$)$A$ が正則であると仮定すると、$AA^{-1}=I$ を満たす行列 $A^{-1}$ が存在する。上で証明した乗法性の定理を適用すると、$\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1$ となる。$\det(A)$ と $\det(A^{-1})$ という 2 つの数の積が $1$ に等しいので、どちらも $0$ にはなり得ない——よって $\det(A)\neq 0$ である。

($\Leftarrow$)、$2\times 2$ で具体的に示す:$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ が $\det(A)=ad-bc\neq 0$ を満たすとする。$\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$ と定義する。直接計算すると、$A\cdot\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\ cd-cd&-cb+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\ 0&ad-bc\end{pmatrix}=\det(A)\,I$ となり、これはちょうど等式 $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$ である。逆の順序で同じ計算をすると $\operatorname{adj}(A)\cdot A=\det(A)\,I$ も得られる。

$\det(A)\neq 0$ なので、$A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ の両辺をスカラー $\det(A)$ で割ると $A\cdot\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}=I$ となり、同様に逆の順序から $\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}\cdot A=I$ が得られる。これにより明示的な両側逆行列 $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$ が示され、$A$ は正則である。

一般の $n$ の場合($n=3$ で例示)、同じ議論が成り立つ。ラプラスの余因子展開により、$\sum_j a_{ij}C_{ij}=\det(A)$(第 $i$ 行に沿った展開)であり、$i\neq k$ のとき $\sum_j a_{ij}C_{kj}=0$ となる(この和は、第 $i$ 行を第 $k$ 行にコピーした行列の余因子展開であり、2 つの行が等しいため上の表により行列式が $0$ になる)。これらの行ごとの等式を行列の形にまとめると、任意の $n$ について、ちょうど $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ が得られる。したがって $\det(A)\neq 0$ である限り、$2\times 2$ の場合と同じ除算の議論により $A^{-1}=\operatorname{adj}(A)/\det(A)$ が得られる。逆に $\det(A)=0$ の場合、第一段落の対偏を用いれば正則性は完全に排除される。なぜなら $\det(A)\det(A^{-1})=1$ は $\det(A)\neq 0$ を要求するからである。これにより判定条件が両方向で証明される。