次元定理

$B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$ と $B_2=\{w_1,\dots,w_k\}$ をともに $V$ の基底とする。$B_1$ が $V$ を張り(基底だから)、$B_2$ が一次独立である(基底だから)ので、上で証明した交換補題を、$B_1$ を張る集合、$B_2$ を独立な集合として直接適用すると $k\leq m$ が得られる。

対称的に、$B_2$ が $V$ を張り、$B_1$ が一次独立であるので、役割を入れ替えて交換補題を再び適用する——$B_2$ を張る集合、$B_1$ を独立な集合として——すると $m\leq k$ が得られる。

2 つの不等式 $k\leq m$ と $m\leq k$ を組み合わせると $k=m$ が強制される:2 つの基底はちょうど同じ個数のベクトルを持つ。

この議論は、どの特定の有限基底 $B_1,B_2$ が選ばれたかに何の制約も置いていないので、$V$ のすべての有限基底はこの同じ共通の大きさを持つ。これにより $\dim(V)$ をその共通の大きさとして定義することが正当化される——それは空間 $V$ 自身の不変量であり、それを計算するのにどの基底を使ったかには決して依存しない。