最大公約数と最小公倍数を結ぶ積の恒等式

ステップ1. すべての素数 $p$ にわたって $a$ と $b$ の素因数分解を $a=\prod_p p^{e_p}$、$b=\prod_p p^{f_p}$ と書く（$e_p,f_p\ge0$ で、ゼロでない指数は有限個のみ）。

ステップ2. 正の整数 $d=\prod_p p^{c_p}$ が $a$ と $b$ の両方を割り切るのは、すべての $p$ で $c_p\le e_p$ かつ $c_p\le f_p$ のとき、かつそのときに限るので、最大の約数は $c_p=\min(e_p,f_p)$ を選ぶ:$\gcd(a,b)=\prod_p p^{\min(e_p,f_p)}$。公倍数に対する双対の議論により、両方以上の最小の指数を選んで $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_p p^{\max(e_p,f_p)}$ を得る。

ステップ3. 任意の二つの実数に対して $\min(e_p,f_p)+\max(e_p,f_p)=e_p+f_p$ が成り立つ。したがって二つの積を素数ごとに掛け合わせると、$\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_p p^{\min(e_p,f_p)+\max(e_p,f_p)}=\prod_p p^{e_p+f_p}=\left(\prod_p p^{e_p}\right)\left(\prod_p p^{f_p}\right)=ab$ となる。