グリーン・タオの定理

第1段階(障害)。フォン・マンゴルト関数 $\Lambda(n)$($n=p^j$ のとき $\log p$、それ以外は0)は素数を検出する自然な重みであり、平均サイズは $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$ である。しかし $\Lambda$ 自体は有界でなく、$\mathcal{P}$ は密度0であるため、古典的な密度定理は直接適用できない。

第2段階(擬似ランダムな優関数)。Goldston–Yıldırım型のふるい重みのアイデアを用い、GreenとTaoは素数を優越する測度 $\nu(n) \ge 0$($\mathbb{E}[\nu] \approx 1$)を構成する。これは定数 $K$ に対して $\Lambda(n) \le K\nu(n)$ を満たし、かつ擬似ランダムである:同じ密度を持つ真にランダムな集合が満たすであろう線形形式条件と相関条件を精密に満たす。

第3段階(相対セメレディの定理)。GreenとTaoは、正の相対密度 $\mathbb{E}[f] \ge \delta$ を持つ任意の関数 $0 \le f \le \nu$ が、$\nu$ が擬似ランダムである限り、期待される密度の長さ $k$ の数列を依然として含むことを証明する。証明は $f$ を有界で構造化された部分と、$\nu$ に対するガワーズ一様性ノルムで小さい部分に分解する。一様な部分は一般化されたフォン・ノイマンの定理により数列の計数にほとんど寄与せず、したがって構造化された部分だけで期待される数列を説明しなければならない——これはセメレディの定理の古典的な超グラフ正則化証明とまったく同じだが、$\nu$ に相対化されている。

第4段階(まとめ)。Goldston–Yıldırım型の $\nu$ が本当に擬似ランダムであることを(標準的な素数計数評価を用いて線形形式条件と相関条件を確認することで)検証すると、第3段階を $f = \Lambda / K$ に適用できる。これは $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$ であるから正の相対密度を持つ。これにより $\Lambda$ で重み付けされた長さ $k$ の数列の正の相対密度が得られ——素数べきからの無視できる寄与を除去した後——任意の $k$ について真の長さ $k$ の素数の数列が得られる。