多項式増大群に関するグロモフの定理

一方の方向は幾何学的な風味を持つ古典的な代数である（バス・ギヴァルシュ）：$N \trianglelefteq G$ が有限指数の冪零部分群で、その下方中心列の階数が $r_1,\dots,r_c$ であるとき、元の標準形に関する数え上げ論法により $b_S(n) \asymp n^d$（$d = \sum_i i\cdot r_i$）という多項式による評価が得られる——したがってほとんど冪零な群は実際に多項式増大を持つ。逆方向はグロモフによるもので、真に深く、ここではその戦略のみを素描する：ケイリーグラフを $1/n$ でスケール変換し、$n \to \infty$ として（部分列と超フィルターに沿った、グロモフ・ハウスドルフの意味での）極限をとる。多項式増大とは、まさにこのスケール変換された球が1点に潰れることも際限なく膨らむこともないようにする条件であり、したがって極限の距離空間——$G$ の漸近錐——が存在し、それは有限次元・局所コンパクトな測地距離空間であって、極限のレベルでも $G$ がなお推移的に作用している。モンゴメリー・ジッピンの局所コンパクト群の構造理論により、この極限空間の等長変換群はリー群を含むことが強制され、さらなる議論によって多項式増大の次数がそのリー群の次元によって抑えられ、最終的に $G$ 自身の内部に有限指数の冪零部分群が特定される。後にクライナー（2010年）による証明は、この同じ「スケール変換して極限をとる」戦略を、多項式増大調和関数のなす空間の有限次元性を通して辿り直し、モンゴメリー・ジッピンの機構を完全に回避しているが、極限をとり、リー群を取り出し、冪零性を読み取るという指導原理は変わらない。