部分分数分解によるビネの公式

分母を因数分解する:$1-x-x^2=0$ の根は $x=1/\varphi$ と $x=1/\psi$ であるから、$1-x-x^2=(1-\varphi x)(1-\psi x)$ が成り立つ。

$\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\varphi x}+\frac{B}{1-\psi x}$ と定数 $A,B$ で書く。分母を払い、定数項と $x$ の係数を比較すると、$A=\frac{1}{\sqrt5}$、$B=-\frac{1}{\sqrt5}$ を解とする連立方程式が得られ、$\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\varphi x}-\frac{1}{1-\psi x}\right)$ となる。

各項を等比級数として展開する:$\frac{1}{1-\varphi x}=\sum_{n\ge0}\varphi^nx^n$、$\frac{1}{1-\psi x}=\sum_{n\ge0}\psi^nx^n$。

両辺の $x^n$ の係数を読み取ると、ビネの公式として知られる $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\psi^n\right)$ が得られる。