D=0のとき:解なしか無数の解

前の定理の消去法の手順は $ad-bc\neq0$ を必要としなかった。それらは $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ の任意の解 $(x,y)$ が、$D$ の値に関わらず $(ad-bc)x=ed-bf$ を満たさなければならないことを示している。$ad-bc=0$ のとき、左辺 $(ad-bc)x$ はすべての $x$ に対して $0\cdot x=0$ となるため、この必要な方程式は数値命題 $0=ed-bf$ に縮退する。

**$ed-bf\neq0$ の場合（解なし）。** このとき命題 $0=ed-bf$ は $x$ と $y$ に関わらず単に偽である。連立方程式の解はすべてこの偽の命題を真にしなければならないので、解は存在し得ない。幾何学的には、2つの方程式は同じ傾き（$D=0$ のため）だが異なる切片を持つ直線を表す。すなわち平行で交わらない2直線である。

**$ed-bf=0$ の場合（無数の解）。** このとき必要な方程式は真だが空虚な命題 $0=0$ であり、yを消去しても情報は何も得られない——どんな $x$ に対しても自動的に満たされる。具体的には、$D=ad-bc=0$ かつ $(a,b)\neq(0,0)$ なので、$c=ka$、$d=kb$ となる定数 $k$ が存在する（第2式のx,y係数は第1式に比例する）。$ed-bf=0$ と合わせると $f=ke$ も成り立つので、第2式 $cx+dy=f$ は文字通り第1式 $ax+by=e$ の $k$ 倍である。第1式を満たすすべての点 $(x,y)$ は自動的に第2式も満たす（第1式を $k$ 倍すればよい）ので、直線 $ax+by=e$ 全体——無数の点——が連立方程式の解となる。