ミンコフスキーの凸体定理

半分に縮小した図形$\frac{1}{2} K = \{\, x / 2 : x \in K \,\}$を考える。$d$次元でのスケーリングは体積を$2^{-d}$倍にするため、仮定$\operatorname{vol}(K) > 2^d \det(\Lambda)$は$\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \det(\Lambda)$となる。

$F$を$\Lambda$の基本平行体とし、$\mathbb{R}^d = \bigsqcup_{v \in \Lambda} (F + v)$かつ$\operatorname{vol}(F) = \det(\Lambda)$とする。$\frac{1}{2} K$を断片$A_v = (\frac{1}{2} K) \cap (F + v)$に切り分け、各断片を$B_v = A_v - v \subseteq F$によって$F$内に平行移動して戻す。$B_v$の体積の総和は$\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \operatorname{vol}(F)$に等しいため、集合族$B_v$は互いに素ではあり得ない(ブリッヒフェルトの原理)。

$B_u \cap B_v \neq \emptyset$となる相異なる格子ベクトル$u \neq v$を$\Lambda$から選ぶ。すると$p - u = q - v$を満たす相異なる二点$p, q \in \frac{1}{2} K$が存在し、$p - q = u - v \in \Lambda \setminus \{0\}$となる。$p, q \in \frac{1}{2} K$より$2p, 2q \in K$であり、$K$の原点対称性から$-2q \in K$、さらに$K$の凸性から中点$\frac{1}{2}(2p) + \frac{1}{2}(-2q) = p - q$は$K$に属する。よって$p - q$は$K \cap (\Lambda \setminus \{0\})$内の非零格子点である。