点の方冪の定理

ステップ1:相似な三角形を立てる。 $P$ を通る2本の直線が円と $A,B$ および $C,D$ で交わるとする。$A,B,C,D$ が同一円上にあるので、円周角 $\angle PAC$ と $\angle PDB$ は同じ弧 $BC$(または配置によりその補弧)を見込み、$\angle PAC = \angle PDB$ となる。

ステップ2:2組目の角を合わせる。 三角形 $PAC$ の $P$ における角と三角形 $PDB$ の $P$ における角は、($P$ が円の外なら2直線が頂点 $P$ を共有するので文字通り同じ角として)等しいか、($P$ が円の内側なら)対頂角である。いずれにせよ $\angle APC = \angle DPB$。

ステップ3:相似性を結論する。 2組の等しい角を持つ三角形 $PAC$ と $PDB$ はAA相似により相似である:$\triangle PAC \sim \triangle PDB$。

ステップ4:比を取り出す。 相似な三角形は対応する辺が比例することを与える:$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$、これを整理すると $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ となる(まず符号なしの長さを用いる、$P$ が円の外の場合)。

ステップ5:直径を通して共通の値を計算する。 $P$ と中心 $O$ を通る特定の直線を選び、円と直径上の2点で交わるとし、$P$ からの符号付き距離を $OP - r$ と $OP + r$ とする($P$ が外側で $OP > r$ とする)。その積は $(OP-r)(OP+r) = OP^2 - r^2$ であり、ステップ4によりこれは $P$ を通るすべての直線について $PA \cdot PB$ に等しくなければならない。

**ステップ6:符号付き長さで $P$ が円の内側の場合を扱う。** $P$ が円の内側にあるとき、弦上で $A,P,B$ はその順に並ぶので、$\overrightarrow{PA}$ と $\overrightarrow{PB}$ は逆向きであり、その符号付き積 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -PA\cdot PB$ は負である;$P$ を通る直径でステップ1–5を繰り返すと $-PA\cdot PB = OP^2-r^2$($OP<r$ なので今度は負)となり、恒等式 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ は符号込みで一様に成り立ち、証明が完了する。