プトレマイオスの定理

ステップ1:補助点を構成する。 対角線 $AC$ 上に、$\angle ABK = \angle DBC$ となる点 $K$ を構成する(すなわち半直線 $BK$ が $BA$ となす角が、$BD$ が $BC$ となす角と等しくなるようにする)。$K$ は線分 $AC$ 上に取る。

ステップ2:1組目の相似三角形を見つける。 $ABCD$ が円内接なので $\angle BAC = \angle BDC$(共に弧 $BC$ を見込む)。構成による $\angle ABK = \angle DBC$ と合わせて、三角形 $ABK$ と $DBC$ は2つの等しい角を持ち、AAにより $\triangle ABK \sim \triangle DBC$。

ステップ3:1つ目の関係を取り出す。 $\triangle ABK \sim \triangle DBC$ より:$\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$、よって $AK \cdot DB = AB \cdot DC$。

ステップ4:2組目の相似三角形を見つける。 $ABCD$ が円内接なので $\angle ABD = \angle ACD$(共に弧 $AD$ を見込む)。三角形 $KBC$ と $ABD$ を考えると:$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD$($K$ が線分 $AC$ 上にあるため)、かつ $\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA$(共に弧 $AB$ を見込む)なので、AAにより $\triangle KBC \sim \triangle ABD$。

ステップ5:2つ目の関係を取り出す。 $\triangle KBC \sim \triangle ABD$ より:$\frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD}$、よって $KC \cdot BD = AD \cdot BC$。

ステップ6:2つの関係を足し合わせる。 ステップ3とステップ5の結果を足すと:$AK\cdot DB + KC\cdot BD = AB\cdot DC + AD\cdot BC$、すなわち $BD(AK+KC) = AB\cdot DC + AD\cdot BC$。$K$ が線分 $AC$ 上にあるので $AK+KC=AC$ となり、まさに $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$ が得られる。