シューアの補題と指標の直交性

ステップ1(シューアの補題、核と像)。$f: V \to W$ を $G$同変とする、すなわちすべての $g,v$ に対して $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v)$。このとき $\ker f \subseteq V$ は $G$不変部分空間であり($f(v)=0$ なら $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v) = 0$)、$V$ が既約であるから $\ker f$ は $0$ か $V$ 全体かのいずれかである。

ステップ2($f=0$ または $f$ が単射、その後全射であると結論する)。$\ker f = V$ なら $f = 0$ である。そうでなければ $\ker f = 0$ なので $f$ は単射であり、像 $f(V) \subseteq W$ も(同変性により)$G$不変である。$W$ が既約で $f(V) \ne 0$($f\ne0$ より)であるから $f(V) = W$ となり、$f$ は全単射、すなわち同型である。

ステップ3($V=W$ ならば $f=\lambda I$)。$\mathbb{C}$ は代数閉体であるから、$f$ は固有値 $\lambda$ を持ち、その固有空間 $E_\lambda = \ker(f-\lambda I) \ne 0$ である。$f$ が $G$同変なので $f - \lambda I$ もそうであり、$E_\lambda$ は既約な $V$ の非零 $G$不変部分空間となり $E_\lambda = V$ を強いる;よって $f = \lambda I$。

ステップ4(平均による直交性)。基底を固定し、$f: V_j \to V_i$ を任意の線形写像とする;マシュケの定理とまったく同様に同変写像 $\bar f = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho_i(g) f \rho_j(g)^{-1}$ を作る。ステップ1–3により、$V_i \not\cong V_j$ なら $\bar f = 0$、$V_i = V_j$ なら $\bar f = \lambda I$($\lambda$ はトレースにより計算可能)である。$f$ を基本行列単位に選び、$\bar f$ の行列成分をこの等式の両辺で比較し、対角成分について和をとってトレースを抽出すると、まさに $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_i(g)\overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}$ が得られる。