バーコフの各点エルゴード定理

ステップ1(不変な limsup と liminf)。$f^*(x)=\limsup_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ と $f_*(x)=\liminf_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ を定義する。$S_{n+1}f(x) = f(x) + S_nf(Tx)$ であるから、$n+1$ で割って $n\to\infty$ とすると $f^*(Tx)=f^*(x)$ および $f_*(Tx)=f_*(x)$ が示され、両者とも $T$-不変な関数である。

ステップ2(最大エルゴード定理)。$\lambda\in\mathbb R$ に対して、$A_\lambda=\{x: \sup_n S_nf(x)/n>\lambda\}$ を、時間平均の途中経過が $\lambda$ を超えたことがある点の集合とする。鍵となる技術的補題($g=f-\lambda$ と部分和の最大値 $M_n(x)=\max(0,S_1g(x),\dots,S_ng(x))$ を考え、$M_n(Tx)\ge S_kg(Tx)$ を各項ごとに用いて $M_n>0$ となる集合上で積分することで証明される)により $\int_{A_\lambda} f\,d\mu \ge \lambda\,\mu(A_\lambda)$ が得られる。

ステップ3(f と f_ を挟み込む)。背理法として、正の測度を持つ集合上で $f^*>f_*$ であると仮定する。すると有理数 $\alpha<\beta$ が存在して、$E=\{x: f_*(x)<\alpha<\beta<f^*(x)\}$ は正の測度を持つ。$E$ は($f^*,f_*$ が不変であるため)$T$-不変であるから、$E$ 上だけに注目してよい。$E$ 上で $f-\beta$ に最大不等式を適用すると $\int_E f\,d\mu\ge\beta\mu(E)$ が強制され、$\alpha-f$ に同様に適用すると $\int_E f\,d\mu\le\alpha\mu(E)$ が強制される。$\alpha<\beta$ かつ $\mu(E)>0$ であるからこれらは矛盾する。したがって $f^*=f_*$ がほとんど至るところで成り立ち、極限 $\bar f(x)=\lim_n S_nf(x)/n$ はほとんど至るところで存在し $T$-不変である。

ステップ4(積分を一致させる、およびエルゴードの場合)。優収束論法($f$ を切り詰め、最大不等式を再び用いて裾を制御する)により $\int_X \bar f\,d\mu = \int_X f\,d\mu$ が示される。最後に、$T$ がエルゴード的であれば、$T$-不変な関数 $\bar f$ はほとんど至るところで定数でなければならない(そのレベル集合 $\{\bar f\le c\}$ のそれぞれが $T$-不変であり、したがって測度が $0$ か $1$ であるという、エルゴード性の定義そのものによる)。積分が一致することと合わせると、その定数は $\int_X f\,d\mu$ でなければならず、$\bar f(x)=\int_X f\,d\mu\ \text{a.e.}$ が得られる。