ポアンカレの再帰定理

ステップ1(決して戻らない点)。$A$ の点のうち決して $A$ に戻らないものの集合として $A_0=\{x\in A: T^nx\notin A\ \forall n\ge1\}$ とおく。集合 $A_0, T^{-1}A_0, T^{-2}A_0,\dots$ は互いに素である。$x\in T^{-i}A_0\cap T^{-j}A_0$($i<j$)とすると、$T^ix\in A_0$ であるが同時に $j-i\ge1$ に対し $T^j x = T^{j-i}(T^ix) \in A$ となり、$T^ix\in A_0$ が決して $A$ に戻らないことに矛盾する。したがって $T^{-i}A_0 \cap T^{-j}A_0=\varnothing\ (i\ne j)$。

ステップ2(決して戻らない集合の測度はゼロ)。$T$ は測度を保つので、任意の $i$ について $\mu(A_0)=\mu(T^{-i}A_0)$。もし $\mu(A_0)>0$ ならば、可算個の互いに素な集合 $T^{-i}A_0$($i=0,1,2,\dots$)はすべてこの同じ正の測度を持つことになり、それらの和集合は無限の測度を持つことになる——$\mu(X)<\infty$(実際には $\mu(X)=1$)であるから不可能である。したがって $\mu(A_0)=0$。

ステップ3(有限回しか戻らない点の集合も測度ゼロ)。$B=\{x\in A: x\ \text{returns to}\ A\ \text{only finitely often}\}$ とおく。$B$ を、シフトされた力学系のもとでの $T^kA$ の(本質的には)決して戻らない集合にわたる $k$ についての可算和として $B=\bigcup_{k\ge0} T^{-k}\{x\in T^kA: x\ \text{never returns to}\ T^kA\}$ と書けば、各項は($\mu(T^kA)=\mu(A)$ を用いて)$A$ の代わりに $T^kA$ に対してステップ1–2の議論をそのまま適用することで測度ゼロとなる。可算劣加法性により $\mu(B)=0$ である。

ステップ4(結論)。$\mu(B)=0$ であるから $A$ において全測度を持つ 任意の $x\in A\setminus B$ は、$B$ の定義により無限回 $A$ に戻る。これがまさに定理の主張である。