Diffie-Hellman共有秘密合意

定義より $A = g^a \bmod p$ と $B = g^b \bmod p$ はモジュラー冪乗の結果であるため、ボブは $A$ を受け取って $B^a = (g^b)^a \bmod p$ を計算し、アリスは $B$ を受け取って $A^b = (g^a)^b \bmod p$ を計算する。

モジュラー冪乗は通常の冪乗と同じ指数法則に従う。なぜなら法 $p$ のもとでの繰り返し乗算は、各段階で法 $p$ により簡約される点を除けば、整数の繰り返し乗算とまったく同じように合成されるからである:$g$ の指数として $(g^b)^a = g^{ba} = g^{ab} = (g^a)^b$ が成り立ち、この等式はどの段階で法 $p$ により簡約しても保たれる。

したがって $B^a \bmod p = g^{ab} \bmod p = A^b \bmod p$ である:アリスとボブは、自分の秘密指数と相手の公開値から、それぞれ独立に同じ値 $g^{ab} \bmod p$ を計算する。その際、秘密の $a$ や $b$ がチャネル上に現れることは一度もない。

安全性の議論はこの正当性の議論とは別である:正当性は両者が同じ数にたどり着くことしか示していない。$g$、$p$、$A$ から $a$ を計算する困難性(離散対数問題)こそが、その共有された数を観測者から秘密に保つ理由である。