対偶の同値性

$(P \to Q) \equiv (\neg Q \to \neg P)$ を、$P\to Q$ と $\neg Q\to\neg P$ の真理値表を4通りの割り当てすべてで比較して証明する。

場合 $P=1, Q=1$: $P\to Q=1$(仮定真、結論真)。また $\neg Q=0$ なので $\neg Q\to\neg P$ は仮定が偽となり、$\neg P$ の値によらず条件文全体は $1$ になる。両辺とも $1$。

場合 $P=1, Q=0$: $P\to Q=0$(仮定真・結論偽が条件文を偽にする唯一の場合)。また $\neg Q=1$、$\neg P=0$ なので $\neg Q\to\neg P$ は仮定真・結論偽となり $0$。両辺とも $0$。

場合 $P=0, Q=1$: $P\to Q=1$(仮定が偽なら条件文は常に真)。また $\neg Q=0$ なので $\neg Q\to\neg P=1$ が自動的に成り立つ。両辺とも $1$。

場合 $P=0, Q=0$: $P\to Q=1$(仮定偽)。また $\neg Q=1$、$\neg P=1$ なので $\neg Q\to\neg P=1$(仮定真・結論真)。両辺とも $1$。

4行すべてが一致するので、$P\to Q$ と $\neg Q\to\neg P$ は真理値表が同一であり、論理的に同値である。これは 逆 $Q\to P$ や 裏 $\neg P\to\neg Q$ とは異なる点に注意。これらは互いに同値だが、一般には元の条件文とは同値ではない——よくある誤った論証の原因である。