ナッシュの存在定理

$\Delta = \Delta_1 \times \cdots \times \Delta_n$ とする。これはプレイヤーたちの混合戦略単体の積であり、ユークリッド空間のコンパクトで凸な部分集合である。$x \in \Delta$、プレイヤー $i$、純粋戦略 $j \in S_i$ に対し、利得関数 $g_{ij}(x) = \max\big(0,\, u_i(s_{ij}, x_{-i}) - u_i(x)\big)$ を定義する。これはプレイヤー $i$ が純粋戦略 $j$ に完全に切り替えることで得られる利得（有利でなければ $0$）である。$f : \Delta \to \Delta$ を $f_i(x)_j = \dfrac{x_{ij} + g_{ij}(x)}{1 + \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x)}$ により定める；$u_i$ は $x$ に関して連続（実際には多重線形）であるため $g_{ij}$ は連続であり、よって $f$ は連続であり、構成により各 $f_i(x)$ は再び確率ベクトルである。

ブラウワーの不動点定理により、コンパクト凸集合 $\Delta$ 上の連続写像 $f$ は不動点 $x^\star$（$f(x^\star) = x^\star$）を持つ。$S_i := \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x^\star)$ とおくと、各 $(i,j)$ に対する不動点方程式は $x_{ij}^\star (1 + S_i) = x_{ij}^\star + g_{ij}(x^\star)$、すなわち $x_{ij}^\star S_i = g_{ij}(x^\star)$ である。

プレイヤー $i$ を固定し $d_{ij} := u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)$ とおくと $g_{ij}(x^\star) = \max(0, d_{ij})$ である。不動点方程式に $d_{ij}$ を掛けて $j \in S_i$ について足し合わせる: 左辺は $S_i \sum_j x_{ij}^\star d_{ij} = S_i\left(\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)\sum_j x_{ij}^\star\right) = S_i(u_i(x^\star) - u_i(x^\star)) = 0$ となる。ここで $\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) = u_i(x^\star)$ と $\sum_j x_{ij}^\star = 1$ を用いた。

右辺は $\sum_j g_{ij}(x^\star)\, d_{ij} = \sum_j \max(0,d_{ij})\, d_{ij} = \sum_{j:\, d_{ij} > 0} d_{ij}^2 \ge 0$ である。両辺を等置すると $\sum_{j:\, d_{ij}>0} d_{ij}^2 = 0$ となり、これは平方和がゼロであるから各項がゼロである: $d_{ij} > 0$ となる $j$ は存在しない。$i$ は任意であったから、すべてのプレイヤー $i$ とすべての純粋戦略 $j$ について $u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) \le u_i(x^\star)$ が成り立つ — これはまさにナッシュ均衡の条件である。したがって $x^\star$ はナッシュ均衡である。