正則性は自己所属を禁止する

矛盾を導くために、ある集合 $x$ が $x \in x$ を満たすと仮定する。

対の公理により、集合 $\{x\}$ が存在する($x$ を自分自身と対にする)。この集合は $x$ を含むので空でない。

空でない集合 $\{x\}$ に正則性公理を適用する:$\{x\} \cap y = \emptyset$ を満たす $y \in \{x\}$ が存在しなければならない。しかし $\{x\}$ の唯一の元は $x$ 自身なので $y = x$ であり、結論は $\{x\} \cap x = \emptyset$ となる。

ここで矛盾の仮定 $x \in x$ を思い出す。$x \in \{x\}$(対の定義により)かつ $x \in x$(我々の仮定)なので、元 $x$ は $\{x\}$ にも $x$ にも属し、したがって $x \in \{x\} \cap x$ である。これは $\{x\} \cap x$ が空でないことを意味し、上で得られた $\{x\} \cap x = \emptyset$ に直接矛盾する。

この矛盾により、仮定 $x \in x$ はどんな集合 $x$ に対しても不可能であることが示される;したがってすべての集合 $x$ に対して $x \notin x$ が、主張どおり成り立つ。