D≠0のときちょうど一意な解を持つ

必要条件を導く（yを消去する）： $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ の第1式に $d$ を、第2式に $b$ を掛ける: $adx+bdy=ed$ と $bcx+bdy=bf$。第1式から第2式を引くと $bdy$ の項がちょうど消え、$(ad-bc)x=ed-bf$ が残る。この方程式は連立方程式の必要な帰結である。元の2式をともに満たす任意の組 $(x,y)$ は、これも満たさなければならない。これは元の2式の倍数を加減しただけで作られたからである。

双子の条件を導く（xを消去する）： 対称的に、第1式に $c$ を、第2式に $a$ を掛け、第2式から第1式を引いて $x$ の項を消去すると、$(ad-bc)y=af-ec$ が残る。これもまた任意の解の必要な帰結である。

D≠0のときの存在性。 $ad-bc\neq0$ ならば、1変数方程式 $(ad-bc)x=ed-bf$ は、1変数の一次方程式に関する定理により、ちょうど1つの解 $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$ を持つ。同様に $(ad-bc)y=af-ec$ はちょうど $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$ を与える。これら2つの値を $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ の元の方程式に代入し代数的に整理すると、両方が同時に満たされることが確認できる(共通分母 $D$ 上で分数をまとめれば $a\cdot\dfrac{ed-bf}{ad-bc}+b\cdot\dfrac{af-ec}{ad-bc}=e$ を読者は確認できる)——したがって解は本当に存在する。

D≠0のときの一意性。 $(ad-bc)x=ed-bf$ と $(ad-bc)y=af-ec$ は $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ のすべての解に対して必要である(単に十分なだけではない)ため、元の連立方程式のどんな解 $(x,y)$ であっても、1変数定理の一意性の部分により、正確に $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$、$y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$ を満たすことを強制される。したがって2つの異なる解が存在することはあり得ない。存在性と合わせて、$ad-bc\neq0$ のときちょうど解は一意である。