自然3次スプラインの存在と一意性

ステップ1(未知数:各節点での2階導関数)。$i=0,\dots,n$ について $M_i = S''(x_i)$ とする。自然境界条件により直ちに $M_0=0$ と $M_n=0$ が定まり、残り $n-1$ 個の未知数 $M_1,\dots,M_{n-1}$ を決定すればよい。

ステップ2(各3次片をM値から再構成する)。$[x_i,x_{i+1}]$ 上では、$S$ が3次なので $S''$ は線形であり、$(x_i,M_i)$ と $(x_{i+1},M_{i+1})$ を通る直線でなければならない。この線形関数を2回積分し、$S(x_i)=y_i$ と $S(x_{i+1})=y_{i+1}$ を用いて2つの積分定数を固定すると、その区間上の $S$ が $M_i, M_{i+1}, y_i, y_{i+1}$ と間隔 $h_i=x_{i+1}-x_i$ によって完全に決まる。よってすべての $M_i$ が分かれば $S$ は完全に決まる。

ステップ3(傾きを一致させると線形方程式系が得られる)。構成により $S$ と $S''$ はすでに各節点で連続である。各内部節点 $x_i$($i=1,\dots,n-1$)で1階導関数 $S'$ も両側から一致することを要求すると、内部節点ごとに連続する3つの未知数を関連づける線形方程式が1つ得られる:$h_{i-1} M_{i-1} + 2(h_{i-1}+h_i) M_i + h_i M_{i+1} = 6\left(\dfrac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \dfrac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right)$。これにより $n-1$ 個の未知数 $M_1,\dots,M_{n-1}$($M_0=M_n=0$ を用いて)についての $n-1$ 個の線形方程式が得られる。

ステップ4(系は唯一の解を持つ)。この系の係数行列は三重対角であり、対角成分は $2(h_{i-1}+h_i)$、非対角成分は $h_{i-1}$ と $h_i$ である;すべての間隔について $h_i>0$ なので $2(h_{i-1}+h_i) > h_{i-1}+h_i$ が成り立ち、この行列は狭義優対角であり、狭義優対角行列は常に正則である。よって $M_1,\dots,M_{n-1}$ についての線形系はちょうど1つの解を持ち、ステップ2によりこれはちょうど1つのスプライン $S$ を定めるので、存在と一意性の両方が証明される。