補間多項式の存在と一意性

ステップ1(存在)。ラグランジュ構成 $P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$($L_i(x) = \prod_{j\ne i} \dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$)はすでにすべての $k$ について $P(x_k)=y_k$ を満たす。なぜなら $L_i(x_k)$ は $i=k$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ となり、和は単一の項 $y_k \cdot 1 = y_k$ に潰れるからである。よって少なくとも1つの有効な $P$ が存在し、各 $L_i$ はちょうど次数 $n$($n$ 個の1次因子の積)を持つので、$P$ の次数は $n$ 以下である。

ステップ2(2つの解を仮定する)。$Q$ を、すべての $i$ について $Q(x_i)=y_i$ を満たす次数 $n$ 以下の別の任意の多項式とする。差 $D(x) = P(x) - Q(x)$ を考える。$P$ と $Q$ がともに次数 $n$ 以下なので、$D$ もそうである。

ステップ3(差の根を数える)。各節点 $x_i$ に対し $D(x_i) = P(x_i)-Q(x_i) = y_i - y_i = 0$。$n+1$ 個の相異なる節点 $x_0, x_1, \dots, x_n$ があるので、$D$ は少なくとも $n+1$ 個の相異なる根を持つ。

ステップ4(Dが恒等的に0であることを示す)。次数 $n$ 以下の非零多項式は多くとも $n$ 個の根しか持てない(各根は1つの1次因子を与え、次数 $n$ の多項式はそのような因子を $n$ 個より多く含みえない)。$D$ は $n+1$ 個の根を持ち、これはその次数が許す数を超えるので、$D$ が零多項式でない限り矛盾する。よって $D(x)\equiv0$、すなわち $Q=P$ である。したがってステップ1で見つけた補間多項式は唯一である。