ペレルマンの $\mathcal{F}$ エントロピーの単調性

ステップ1(保存される測度)。 リッチフローの下で $\partial_t\,dV=-R\,dV$ が成り立つ($\partial_t\log\sqrt{\det g}=\tfrac12g^{ij}\partial_tg_{ij}=-R$ より)。これを $f$ の発展式 $\partial_t f = -\Delta f + |\nabla f|^2 - R$ と組み合わせると、$\Delta(e^{-f})=e^{-f}(|\nabla f|^2-\Delta f)$ を用いて $\partial_t(e^{-f}dV)=(-\partial_tf-R)e^{-f}dV=(\Delta f-|\nabla f|^2)e^{-f}dV=-\Delta(e^{-f})\,dV$ となる。閉多様体 $M$ 上で積分すると発散定理により右辺は消え、$\int_M e^{-f}dV$ は時間について一定となる。すなわち $e^{-f}dV$ は結合されたフローに沿って運ばれる保存測度である。

**ステップ2($\partial_t\varphi-\Delta\varphi$の積分への帰着)。** $\varphi=R+|\nabla f|^2$ とおくと $\mathcal F(g,f)=\int_M\varphi\,e^{-f}dV$ となる。積分記号下で微分し、ステップ1の $\partial_t(e^{-f}dV)=-\Delta(e^{-f})\,dV$ を用いると $\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M(\partial_t\varphi)e^{-f}dV-\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV$ となる。閉多様体 $M$ 上で通常のラプラシアンは $dV$ に関して自己随伴なので $\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV=\int_M(\Delta\varphi)e^{-f}dV$ となり、$\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M\big[\partial_t\varphi-\Delta\varphi\big]e^{-f}dV$ を得る。

**ステップ3($R$の部分)。** スカラー曲率に対するハミルトンの発展公式は $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2$ であり、したがって直接 $\partial_tR-\Delta R=2|\mathrm{Ric}|^2$ となる。これによりステップ2の括弧に $2|\mathrm{Ric}|^2$ が寄与する。

**ステップ4($|\nabla f|^2$の部分)。** $\partial_tg^{ij}=2R^{ij}$ であるから連鎖律により $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)+2\langle\nabla f,\nabla(\partial_tf)\rangle$ となり、$\partial_tf=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$ と恒等式 $\langle\nabla f,\nabla|\nabla f|^2\rangle=2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$ を代入すると $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$ となる。ボホナーの公式は $\Delta|\nabla f|^2=2|\nabla^2f|^2+2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$ を与えるので、引き算すると $\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$ の両方の項が相殺し $\partial_t|\nabla f|^2-\Delta|\nabla f|^2=-2|\nabla^2f|^2+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-4\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$ が残る。

ステップ5(重み付きボホナーと消える発散項)。 バクリー・エミリー($f$重み付き)ラプラシアン $\Delta_f h = \Delta h - \langle\nabla f,\nabla h\rangle$ を導入する。これは $\Delta_fh\,e^{-f}=\mathrm{div}(e^{-f}\nabla h)$ が純粋な発散であることから、任意の関数 $h$ に対して $\int_M(\Delta_fh)e^{-f}dV=0$ を満たす。$\Delta f=\Delta_ff+|\nabla f|^2$ と書くと $\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle$ は $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$ となり、重み付きボホナー・ヴァイツェンベック恒等式 $\tfrac12\Delta_f|\nabla f|^2=|\nabla^2f|^2+\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+(\mathrm{Ric}+\nabla^2f)(\nabla f,\nabla f)$ が $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle$ を分離する。これらすべてをステップ4の式に代入すると、$\Delta_f|\nabla f|^2$ から構成される項はすべて上記の消える発散性により $e^{-f}dV$ に対して積分すると0になり、残るのはちょうど $\int_M\big[2|\nabla^2f|^2+4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$ である。

ステップ6(縮約ビアンキ恒等式による平方完成)。 $\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle$ を部分積分し、縮約された第二ビアンキ恒等式 $\nabla^iR_{ij}=\frac12\nabla_jR$ を用いると、ちょうど $4\int_M\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle e^{-f}dV=\int_M\big[4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$ が得られる――これはまさにステップ5で残った交差項である。これを代入し、ステップ3の $2|\mathrm{Ric}|^2$ を加えると、被積分関数はちょうど完全平方 $2|\mathrm{Ric}|^2+4\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle+2|\nabla^2f|^2=2|\mathrm{Ric}+\nabla^2f|^2$ にまとまる。

結論。 したがって $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(g,f)=2\int_M|R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf|^2e^{-f}dV\ge0$ であり、これは正の重み $e^{-f}dV$ に対する平方和であるから、$\mathcal{F}$ は結合されたフローに沿って非減少であり、ある区間で一定であるのはちょうどそこで $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf\equiv0$ のとき、すなわちちょうど定常勾配リッチソリトンのときに限る。$\blacksquare$