関手は同型を保つ

$f$ と $g$ が互いに逆であるため、$g \circ f = 1_A$ かつ $f \circ g = 1_B$。

最初の等式に $F$ を適用する。関手は合成を保つので $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$;関手は単位射を保つので $F(1_A) = 1_{F(A)}$。これらを $g \circ f = 1_A$ と組み合わせると $F(g) \circ F(f) = 1_{F(A)}$ が得られる。

同様に第二の等式に $F$ を適用する:$F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)$ かつ $F(1_B) = 1_{F(B)}$ なので、$f \circ g = 1_B$ から $F(f) \circ F(g) = 1_{F(B)}$ が得られる。

この二つの式は、$F(g)$ が $F(f)$ の両側逆射であることをまさに述べている。両側逆射を持つ射は同型であるから、$F(f) : F(A) \to F(B)$ は逆射 $F(g)$ を持つ同型であり、主張どおりである。