終対象は一意な同型を除いて一意である

$T_2$ が終対象であるため、すべての対象——特に $T_1$——からそこへの射がちょうど一つ存在する。それを $u : T_1 \to T_2$ と呼ぶ。$T_1$ が終対象であるため、対称的にちょうど一つの $v : T_2 \to T_1$ が存在する。

合成 $v \circ u : T_1 \to T_1$ を考える。$T_1$ が終対象であるため、$T_1 \to T_1$ の射はちょうど一つしかなく、$1_{T_1}$ はそのような射の一つである。$v \circ u$ も $T_1 \to T_1$ の射であるため、一意性から $v \circ u = 1_{T_1}$ が強制される。

$T_2$ の終対象性を使った対称的な議論により、合成 $u \circ v : T_2 \to T_2$ も $1_{T_2}$ に等しくなければならない:$u \circ v = 1_{T_2}$。

両側逆射を持つ射は定義により同型であるから、$u$ は逆射 $v$ を持つ同型 $T_1 \cong T_2$ である。それが $T_1 \to T_2$ の唯一の射であるのは、$T_2$ の終対象性がそもそもそのような射がちょうど一つしかないと述べているからである——$u$ は最初から一意に決まっており、それが可逆であることが分かっただけである。