$\sqrt{2}$ の無理性

背理法として、$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。すると $q \neq 0$ を満たす整数 $p,q$ で $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ と書け、共通因数を約分することで $\gcd(p,q)=1$(既約分数)と仮定してよい。

両辺を2乗すると $2 = \frac{p^2}{q^2}$ となり、$p^2 = 2q^2$ を得る。これは $p^2$ が偶数であることを意味する。奇数の平方は奇数であるため、$p$ 自身が偶数でなければならない;ある整数 $k$ について $p = 2k$ と書く。

代入すると $(2k)^2 = 2q^2$ となり、$4k^2 = 2q^2$、これは $q^2 = 2k^2$ に簡約される。これは $q^2$ が偶数であることを意味し、同じ推論により $q$ も偶数でなければならない。

しかし今や $p$ と $q$ の両方が偶数であるため、$2$ は両方を割り切り、$\gcd(p,q)=1$ という仮定と矛盾する。この矛盾は、$\sqrt{2}$ が $\frac{p}{q}$ と書けるという当初の仮定が偽でなければならないことを示す。したがって $\sqrt{2}$ は無理数である。