和集合に対する共通部分の分配法則

両方の包含関係を、任意の元 $x_0$ を用いた「元を追跡する」手法によって示すことで、2つの集合が等しいことを証明する。

(順方向、$\subseteq$) $x_0 \in A \cap (B \cup C)$ と仮定する。共通部分の定義により、これは $x_0 \in A$ かつ $x_0 \in B \cup C$ を意味する。和集合の定義により、$x_0 \in B \cup C$ は $x_0 \in B$ または $x_0 \in C$ を意味する。この2つの場合を別々に考える。場合1:$x_0 \in B$。$x_0 \in A$ と合わせると $x_0 \in A \cap B$ が得られる。場合2:$x_0 \in C$。$x_0 \in A$ と合わせると $x_0 \in A \cap C$ が得られる。いずれの場合も $x_0$ は $x_0 \in A \cap B$ または $x_0 \in A \cap C$ に属するので、$x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ である。

(逆方向、$\supseteq$) $x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ と仮定する。和集合の定義により、これは $x_0 \in A \cap B$ または $x_0 \in A \cap C$ を意味する。もし $x_0 \in A \cap B$ ならば $x_0 \in A$ かつ $x_0 \in B$ であり、したがって $x_0 \in B \cup C$($x_0$ が $B$ に属するなら $B$ または $C$ に属する)、よって $x_0 \in A \cap (B \cup C)$ となる。もし代わりに $x_0 \in A \cap C$ ならば $x_0 \in A$ かつ $x_0 \in C$ であり、したがって $x_0 \in B \cup C$、よって再び $x_0 \in A \cap (B \cup C)$ となる。

左辺のすべての元が右辺に属し、その逆も成り立つので、2つの集合はまったく同じ元を含む。したがって $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ が成り立ち、証明が完了する。