指示関数の和に対する期待値の線形性

$X = \sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]$ と書く。ここで $\mathbb{1}[A_i]$ は $A_i$ が起これば $1$、そうでなければ $0$ である。期待値はそれ自体、結果を確率で重み付けした和(または積分)として定義され、この和は有限個の確率変数について常に加法的である——これは変数が独立かどうかに関わらず成り立つ。なぜなら期待値の加法性は独立性を一切使わず、同じ確率測度の上で足し合わせているという事実だけを使うからである。

形式的には、有限和の期待値の加法性により $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]\right] = \sum_{i=1}^m \mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]]$ である。

最後に、任意の指示変数について $\mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]] = 1 \cdot \Pr[A_i] + 0 \cdot \Pr[\overline{A_i}] = \Pr[A_i]$ が成り立つ。これを和に代入すると、$A_i$ 同士の関係について何の仮定もなしに、まさに $\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^m \Pr[A_i]$ が得られる。