加法的コーシー方程式の解

**ステップ1:$f(0)$ を決定する。** $f(x+y)=f(x)+f(y)$ に $x=y=0$ を代入:$f(0)=f(0)+f(0)$、よって $f(0)=0$。

ステップ2:正の整数へ拡張する。 正の整数 $n$ について、$x=(n-1)$ とする(または帰納法):$f(n\cdot 1) = f((n-1)\cdot 1 + 1) = f((n-1)\cdot 1) + f(1)$。$n$ に関する帰納法により、任意の正の整数 $n$ について $f(n) = n f(1)$(基底ケース $n=1$ は自明、帰納ステップは今適用した通り)。

ステップ3:負の整数へ拡張する。 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ に $y=-x$ を代入:$f(0) = f(x) + f(-x)$、$f(0)=0$ なので $f(-x) = -f(x)$。ステップ2と合わせて、任意の整数 $n$(正、負、または零)について $f(n) = n f(1)$、$c = f(1)$ と書く。

ステップ4:有理数へ拡張する。 $p\in\mathbb{Z}$、$r\in\mathbb{Z}_{>0}$ として $q = p/r$ とする。$r \cdot q = p$(繰り返し加算の下での整数として、すなわち $q + q + \dots + q$($r$ 回)$= p$)であるから、$r$ 回評価された関数にステップ2/3の整数の場合を適用すると $f(rq) = r f(q)$(ステップ2で使った帰納法と同じ議論を今 $x=q$ で)。しかし $rq = p$ なので $f(p) = r f(q)$、すなわち $cp = r f(q)$、すなわち $f(q) = c \cdot \frac{p}{r} = cq$。

ステップ5:有理数の場合を結論づける。 これは任意の $q \in \mathbb{Q}$ について $f(q) = cq$(ただし $c = f(1)$)を示す——$\mathbb{Q}$ 上の関数全体が単一の点での値によって決定される。

**ステップ6:連続性の下で $\mathbb{R}$ へ拡張する。** ここで $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が加法的であり、たとえ1点だけでも連続であるとする(そのとき至る所での連続性は加法性から従う:$0$ で連続なら $h\to 0$ のとき $f(x+h)-f(x) = f(h) \to 0$)。任意の実数 $x$ について、有理数の列 $q_n \to x$ を取る。ステップ1–5により $f(q_n) = c q_n$。連続性により $f(x) = \lim_n f(q_n) = \lim_n c q_n = cx$。

**ステップ7:単調性または局所有界性の下で $\mathbb{R}$ へ拡張する(概略)。** $f$ が単調であれば、任意の実数 $x$ を挟む有理数 $q_1 < x < q_2$ について、単調性は $cq_1 \le f(x) \le cq_2$ を強制し($c>0$ の場合;$c<0$ なら逆)、$q_1,q_2\to x$ とすると同じ挟み込みで $f(x)=cx$ が確定する。代わりに $f$ がある区間 $I$ 上で有界であれば、(加法性を用いて区間をずらすことで)$f$ が $0$ 近くで有界であることを示し、固定された $x$ について $n\to\infty$ のとき $f(x/n)\to 0$ となることが $0$ での連続性を強制し、ステップ6に帰着する。3つの正則性の場合(連続、単調、区間上有界)すべてで、結論は同じである:任意の $x\in\mathbb{R}$ について $f(x)=cx$。