イェンゼン方程式はコーシー方程式に帰着する

**ステップ1:$g$ を定義し $g(0)=0$ を確認する。** $g(x) = f(x) - f(0)$ とする。すると $g(0) = f(0)-f(0) = 0$。

**ステップ2:イェンゼンの方程式を $g$ で書き換える。** $f = g + f(0)$ を $f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$ に代入すると $g\left(\frac{x+y}{2}\right) + f(0) = \frac{g(x)+f(0)+g(y)+f(0)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2} + f(0)$ となる。$f(0)$ の項は打ち消し合い、$g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$ が残る——$g$ はまさに同じイェンゼンの方程式を満たす。

ステップ3:半分にする恒等式を導く。 $g$ の方程式に $y=0$ を代入:$g\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{g(x)+g(0)}{2} = \frac{g(x)}{2}$(ステップ1の $g(0)=0$ を用いる)。よって任意の $x$ について $g(x/2) = g(x)/2$、同値に任意の $u$ について $g(2u) = 2g(u)$($u=x/2$ を代入)。

**ステップ4:$g$ のイェンゼン方程式を加法性に変換する。** 任意の $x,y\in\mathbb{R}$ について、$g$ のイェンゼン方程式を組 $(x,y)$ に適用:$g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$。ステップ3を $u = x+y$ で用いると、左辺は $g(x+y)/2$ に等しい(なぜなら $\frac{x+y}{2}$ は $x+y$ の半分だから)。よって $\frac{g(x+y)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2}$、両辺を $2$ 倍して:$g(x+y) = g(x)+g(y)$。

ステップ5:結論。 これはまさに $g$ に適用された加法的コーシー方程式 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ である。定理1により、$g$(同値に $f$、定数 $f(0)$ だけ異なるため)が連続、単調、またはある区間上有界であれば、ある定数 $c=g(1)=f(1)-f(0)$ について $g(x) = cx$。代入し戻すと $f(x) = g(x) + f(0) = cx + f(0)$、イェンゼンの方程式の一般的な正則解——アフィン(必ずしも線形ではない)関数である。