有限マルコフ連鎖の基本定理

存在性と一意性。$P$ は行確率的であるから、全成分1のベクトルは固有値1に対する右固有ベクトルであり、したがって1は $P$ の固有値でもある(行列とその転置は固有値を共有する)。対応する左固有ベクトル $\pi$ が存在し $\pi P=\pi$ を満たす。既約性とは $P$ が強連結なグラフの遷移行列であることを意味し、したがってペロン・フロベニウスの定理が適用できる:固有値1は単純(重複度1)であり、その固有ベクトルは狭義正に選べるので、成分の和が1になるよう正規化すれば一意性が得られる。

収束性。非周期性と既約性を合わせると、$P$ の1以外の他のすべての固有値 $\lambda$ は $|\lambda|<1$ を満たす(これは周期性があれば崩れる部分である:周期的な連鎖は単位円周上にちょうどある追加の固有値、例えば $-1$ を持ち、これは決して減衰しない)。任意の出発分布 $\mu_0$ を $P$ の固有基底で表すと、$\pi$ に沿った成分(固有値1)は永遠に変化せず残り、それ以外の各成分はステップ $n$ で $\lambda^n$ 倍され幾何学的にゼロへ縮小する。

この二つのステップを合わせると、$\mu_0 P^n$ は固有値1の成分のみ、すなわちちょうど $\pi$ に収束し、これはすべての出発分布 $\mu_0$(単位行列の各行、つまり各点質量を含む)に対して成り立つので、$P^n$ のすべての行が主張どおり $\pi$ に収束する。