ランダムサーファーの定常分布としてのページランク

既約性。$1-d>0$ であるから、$G$ のすべての成分は狭義正である($G_{ij}\ge(1-d)/N>0$)。したがってどのページからも他の任意のページへ一段階で正の確率で直接跳べる——基礎となるグラフは自明に強連結であり、ゆえに $G$ は既約である。

非周期性。どの状態からも($G_{ii}>0$ でもあるため自分自身も含め)他のすべての状態へ直接遷移できる連鎖は、あらゆる長さ $1,2,3,\dots$ の帰還時刻を持ち、その最大公約数は1である。したがって $G$ は非周期的である。

存在性・一意性・収束性。$G$ は構成上行確率的であり(2つの行確率的行列 $P$ と $J/N$ の凸結合 $dP+(1-d)\tfrac1N J$ は行確率的である)、既約かつ非周期的であることは今示したとおりなので、有限マルコフ連鎖の基本定理が直接適用できる:$\pi=\pi\Big(dP+(1-d)\tfrac1N J\Big)$ を満たす一意の定常分布 $\pi$ が存在し、$G^n$ は各成分ごとにすべての行が $\pi$ に等しい行列へ収束する。

べき乗法。任意の出発分布 $\pi_0$ に対して $\pi_k=\pi_0G^k$ であり、$G^k$ のすべての行が $k\to\infty$ のとき $\pi$ に収束するので、加重平均 $\pi_0G^k$ も $\pi$ に収束する——これがまさに、任意の出発ランク(通常は一様分布)から $\pi_{k+1}=\pi_k G$ を繰り返し適用すると真のページランクベクトルに収束する理由である。