平方剰余の相互法則

踏み台としてガウスの補題を用いる:奇素数 $p$ と $\gcd(a,p)=1$ に対し、$a, 2a, \dots, \frac{p-1}{2}a$ の $p$ を法とする最小正剰余を見て、そのうち $p/2$ を超えるものの個数を $\mu$ とする。ガウスの補題は $\left(\dfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}$ を主張する。これは「大きい」剰余 $r$ を $p-r\le p/2$ と対にし、$\frac{p-1}{2}$ 個の数を二通りの方法で掛け合わせたときの符号を追うことで従う。

アイゼンシュタインの精密化は $\mu$ を格子点の個数として表す:$a=q$ が奇数のとき、$\lfloor kq/p\rfloor$($kq$ 未満の $p$ の倍数の個数)と $kq \bmod p$ が $p/2$ からどれだけ離れているかを比較することで $\mu \equiv \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \left\lfloor \frac{kq}{p} \right\rfloor \pmod 2$ が示される。同じ計数論法を対称的に適用すると $\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{S(q,p)}$ と $\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{S(p,q)}$ が得られる。ここで $S(q,p)=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor \frac{kq}{p}\right\rfloor$、$S(p,q)=\sum_{k=1}^{(q-1)/2}\left\lfloor \frac{kp}{q}\right\rfloor$ である。

幾何学的には、$S(q,p)+S(p,q)$ は $1\le x\le \frac{p-1}{2}$、$1\le y\le \frac{q-1}{2}$ を満たす格子点 $(x,y)$ のうち、直線 $qx=py$ の厳密に下側にあるもの($S(q,p)$ 個)と厳密に上側にあるもの($p,q$ の対称的な役割により $S(p,q)$ 個)の合計を数える。$\gcd(p,q)=1$ かつ $x<p$ より直線上に格子点はちょうど存在しないため、この二つの個数を合わせると $\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}$ 個の格子点をすべて尽くす。

したがって $S(q,p)+S(p,q) = \frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}$ であり、二つのルジャンドル記号の式を掛け合わせると $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{S(p,q)+S(q,p)}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$ となり、これはまさに $\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$ である。