11による整除の交代和判定法

ステップ1. すべての $i\ge0$ に対して $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$ であることを帰納法で示す。基底段階 $i=0$：$10^0=1=(-1)^0$。帰納段階：$10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$ ならば、$10^{i+1}=10\cdot10^i\equiv(-1)\cdot(-1)^i=(-1)^{i+1}\pmod{11}$（$10 \equiv -1 \pmod{11}$ を用いる）。よってすべての $i$ で $10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}$。

ステップ2. 位取り展開に代入する:$n=\sum_i d_i10^i \equiv \sum_i d_i(-1)^i \pmod{11}$、これはまさに交代和 $\sum_i (-1)^i d_i$ である。

ステップ3. 結論:$11\mid n$ となるのはまさに $n\equiv0\pmod{11}$ のときであり、ステップ2により、これはまさに $11$ が $\sum_i (-1)^i d_i$ を割り切るときに起こる。