逆三角不等式

ステップ1 — 三角不等式を2回適用する。(M3)より $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ となり、これを整理すると $d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y)$ を得る。同じ公理で $x$ と $y$ の役割を入れ替えると $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) = d(x,y) + d(x,z)$(対称性 $d(y,x)=d(x,y)$ を使用)となり、整理すると $d(y,z) - d(x,z) \le d(x,y)$、すなわち $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$ を得る。

ステップ2 — 2つの評価を組み合わせる。2つの不等式 $d(x,z)-d(y,z) \le d(x,y)$ と $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$ が同時に成り立つことは、絶対値の定義により、まさに $|d(x,z)-d(y,z)| \le d(x,y)$ という主張である:実数 $u$ が $|u| \le c$ を満たすのは $u \le c$ かつ $-u \le c$ が成り立つときに限る。