特別な場合 $k=3$:ロスの定理

第1段階(フーリエによる数列の計数)。$A \subseteq \{1,\dots,N\}$ が密度 $\delta$ を持ち、非自明な3項数列を持たないと仮定する。$A$ の指示関数のフーリエ変換を $\hat{1_A}(\theta) = \sum_{n \in A} e(\theta n)$ と書くと、三つ組 $(x, x+r, x+2r) \in A^3$ の個数は $\theta$ についての $\hat{1_A}(\theta)^2 \, \overline{\hat{1_A}(2\theta)}$ の積分として書ける。

第2段階(擬似ランダムな場合)。$1_A$ のゼロでないすべてのフーリエ係数が $\delta^2$ に比べて小さければ、積分は $\theta = 0$ の項だけに支配され、これだけでおよそ $\delta^3 N^2$ 個の三つ組——自明なものよりはるかに多い——が強制され、$A$ に三つ組がないという仮定と矛盾する。

第3段階(密度増加)。したがってあるゼロでない係数が大きいはずであり、これは $1_A$ が線形位相 $e(\theta n)$ と相関することを意味する。つまり $A$ はある等差数列(またはボーア集合)上で顕著に偏っている。その部分数列に制限すると、$A$ の密度が一定の乗法因子だけ増加した短い区間が得られる。

第4段階(反復と結論)。密度は1を超えられないので、この密度増加ステップを有限回繰り返せば過程は終了しなければならない——つまり最終的に第2段階の擬似ランダムな場合が強制され、欠けていた3項数列が得られ、数列が存在しないという仮定と矛盾する。ロスの元の評価は $N(3,\delta) \lesssim \exp(\exp(1/\delta))$ 型のしきい値を与える。これは数十年かけて改良され、2023年のケリーとメカの議論はベーレンドの古典的構成に近い、密度 $N(3,\delta) \lesssim \exp\!\big(-c(\log N)^{1/12}\big) N$ 型までこの場合のギャップをほぼ閉じた。