ミルナー・シュヴァルツの補題

$x_0 \in X$ を固定し、$X/G$ のコンパクト性を用いて、閉球 $\bar B(x_0,R)$ の $G$ による像が $X$ を覆うように十分大きな $R$ を選ぶ。$S = \{\, g \in G : g \ne e,\ d_X(x_0,gx_0) \le 2R+1 \,\}$ とおくと、真性不連続性によりこれは有限集合である。$S$ が $G$ を生成することを見るには：$g \in G$ を任意にとり、$x_0$ から $g x_0$ への測地線上に間隔が高々 $2R$ となるように点 $x_0 = g_0 x_0, g_1 x_0, \dots, g_n x_0 = g x_0$ を選ぶ。隣り合う各対は $d_X(g_{i-1}x_0, g_i x_0) \le 2R$ を満たすので $g_{i-1}^{-1} g_i \in S$ であり、これら $n \le d_X(x_0, g x_0)/(2R) + 1$ 個の $S$ の元をかけ合わせると $g$ が得られる。したがって $R$ のみに依存する定数 $C_1$ について $d_S(e,g) \le C_1\, d_X(x_0,gx_0) + C_1$ が成り立つ。逆に、各生成元は $x_0$ を高々 $2R+1$ しか動かさないので $d_X(x_0,gx_0) \le (2R+1)\, d_S(e,g)$ である。この2つの不等式により $g \mapsto g x_0$ は適当な $\lambda,\varepsilon$ に対する $(\lambda,\varepsilon)$-擬等長埋め込みであることが分かり、余コンパクト性（$X$ のすべての点は $x_0$ のある $G$ による像から距離 $R$ 以内にある）によりその像は粗く稠密になる——よってこれは擬等長写像であり、$G$ 全体で定義されているのだから、有限集合 $S$ は $G$ を生成する。