位数 $m$ の極における留数公式

手順1(ローラン級数を明示的に書く)。$f$ が $z_0$ において位数 $m$ の極を持つので、そのローラン級数は $a_{-m} \neq 0$ として $f(z) = \dfrac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \dfrac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$ の形を持つ。

手順2(極を消去する)。両辺に $(z-z_0)^m$ を掛けると $g(z) := (z-z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + a_0(z-z_0)^m + \cdots$ となり、これは通常のべき級数であるから、$g$ は $z_0$ で正則である。

手順3(係数を導関数として認識する)。このべき級数において、$a_{-1}$ は $(z-z_0)^{m-1}$ の係数である。任意の正則関数 $g(z) = \sum_j c_j (z-z_0)^j$ に対して、テイラーの公式は $c_j = \dfrac{g^{(j)}(z_0)}{j!}$ を与えるので、$a_{-1} = \dfrac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$ となる。

手順4(結論)。$\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}$ かつ $g^{(m-1)}(z_0) = \lim_{z\to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$ であるから、代入すると $\mathrm{Res}(f, z_0) = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right]$ が得られる。$m=1$ とおくと微分と階乗が消え、$\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$ が得られる。