留数定理

手順1(曲線を変形する)。コーシーの積分定理により、$f$ が正則な領域を囲むどんな閉曲線に対しても $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$ が成り立つ。$f$ が正則でないのは $z_1,\dots,z_n$ だけであるから、各 $z_k$ を、円同士が互いに交わらず $\gamma$ の内部に収まるように十分小さな半径 $\varepsilon$ の正の向きの小円 $C_k$ で囲む。$\gamma$ から各 $C_k$ へ切れ目を入れると、$\gamma$ と $C_k$ の間の領域は $f$ が正則な単連結領域になるので、その領域の境界に沿った積分は $0$ である。切れ目からの寄与は対になって打ち消し合い、$\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{k} \oint_{C_k} f(z)\,dz$ が残る。

手順2(各小円を評価する)。$k$ を固定し、$C_k$ を含む穴あき円板上で有効な $f$ のローラン展開 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$ を $z_k$ の周りで考える。$n \neq -1$ を満たす各項 $a_n(z-z_k)^n$ は穴あき円板上で一価の原始関数を持つため、閉曲線 $C_k$ に沿って積分すると $0$ になる。残るのは項 $a_{-1}(z-z_k)^{-1}$ だけである。

手順3(残った積分を計算する)。$C_k$ を $\theta \in [0, 2\pi]$ に対して $z = z_k + \varepsilon e^{i\theta}$ とパラメータ化すると、$dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ かつ $\dfrac{dz}{z-z_k} = i\,d\theta$ となる。よって $\oint_{C_k} \dfrac{a_{-1}}{z-z_k}\,dz = a_{-1} \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i\, a_{-1} = 2\pi i\, \mathrm{Res}(f, z_k)$ である。

手順4(まとめる)。手順3の結果を手順1の等式に代入すると $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \mathrm{Res}(f, z_k)$ が得られ、これがまさに留数定理である。