行列式の乗法性

まず、3 つの基本行操作が行列式に与える影響を振り返る(これはライプニッツの和 $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$ から直接確立される。この和の各項は各行について別々に線形だからである):2 つの行を入れ替えると $\det$ に $-1$ を掛け、1 つの行を $k$ 倍すると $\det$ に $k$ を掛け、1 つの行の何倍かを別の行に加えても $\det$ は変化しない。

$A$ に対する各基本行操作は、$A$ に対応する基本行列 $E$ を左から掛けることと同じである(単位行列 $I$ に同じ操作を適用して得られる)。前段落と比較すると、$\det(E)$ はちょうどその操作のスケーリング係数($-1$、$k$、または $1$)に等しいので、すべての基本行列 $E$ について $\det(EA)=\det(E)\det(A)$ が成り立つ。

$A$ が正則な場合:ガウスの消去法は、有限個の基本行操作の列を用いて、任意の正則行列を単位行列に変形する。すなわち、基本行列 $E_1,\dots,E_m$ に対して $E_m\cdots E_1A=I$ となるので、$A=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}$ となり、これ自体が基本行列の積である(基本行列の逆行列も同じ種類の基本行列である)。前段落の等式を繰り返し適用すると $\det(A)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})$ となり、これを再び $AB=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}B$ に適用すると $\det(AB)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})\det(B)=\det(A)\det(B)$ が得られる。

$A$ が特異な場合:このとき $\det(A)=0$ である(特異行列は単位行列まで完全には変形できず、上記の行操作の規則から、到達可能な行階段形には常に零行が残ることが分かり、その行に沿った余因子展開により $\det=0$ が強制される)。特異であることは $\operatorname{rank}(A)<n$ を意味し、任意の $B$ に対して $\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A)<n$ であるから、積 $AB$ も特異であり、したがって $\det(AB)=0$ となる。よって $\det(AB)=0=0\cdot\det(B)=\det(A)\det(B)$ となり、この場合も等式は成り立ち、すべての $A$ について証明が完成する。