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定理証明済み

外積の直交性と面積の性質

内容

任意の u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) と v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v}=(v_1,v_2,v_3) に対し、外積 u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1)\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1) は (u⃗×v⃗)⋅u⃗=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0、(u⃗×v⃗)⋅v⃗=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0、および ∣u⃗×v⃗∣2=∣u⃗∣2∣v⃗∣2−(u⃗⋅v⃗)2|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 を満たす。

なぜ正しいのか?

最初の2つの等式は u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} が両方の入力ベクトルに垂直であることを確かめるもので、u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} が張る平面の法線ベクトルをそのまま与える。3つ目の等式は ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta と書き換えられ、u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} が張る平行四辺形の(底辺×高さの)面積になる。

証明の概略

座標の定義から内積を直接計算する:(u x v) . u = (u2 v3 - u3 v2) u1 + (u3 v1 - u1 v3) u2 + (u1 v2 - u2 v1) u3。

3つの積を展開すると u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u1 u3 v2 - u2 u3 v1 = 0 となり、6つの項が対になって打ち消し合う。(u x v) . v = 0 の計算もまったく同じである。

大きさの恒等式については、|u x v|^2 = (u2 v3 - u3 v2)^2 + (u3 v1 - u1 v3)^2 + (u1 v2 - u2 v1)^2 を展開する。一方、|u|^2 |v|^2 - (u . v)^2 = (u1^2+u2^2+u3^2)(v1^2+v2^2+v3^2) - (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3)^2 を展開する。

2つ目の式では対角項 u1^2 v1^2, u2^2 v2^2, u3^2 v3^2 が消え、|u x v|^2 の展開とまったく同じ非対角項 u_i^2 v_j^2 - 2 u_i u_j v_i v_j が残る。u . v = |u||v|cos(theta) より、これは |u|^2|v|^2(1 - cos^2(theta)) = (|u||v|sin(theta))^2 に等しい。

この定理を使うトピック

空間における座標

ステップごとの証明

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