定理証明済み

点から平面までの距離

内容

$Oxyz$ において、点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ から平面 $(P): Ax+By+Cz+D=0$ ( $A^2+B^2+C^2>0$ )への垂線の距離は $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ である。

なぜ正しいのか?

$Ax_0+By_0+Cz_0+D$ を計算すると、点 $M_0$ が平面の方程式からどれだけ外れているかが法線ベクトル $\vec{n}=(A,B,C)$ の長さ $|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 倍されて測られる。 $|\vec{n}|$ で割ることで、その代数的なずれが法線方向の実際の幾何学的距離に換算される。

証明の概略

平面 (P) 上の任意の点 M1(x1,y1,z1) をとる。M1 は (P) 上にあるので Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 を満たし、D = -(Ax1 + By1 + Cz1) である。

M0 から (P) への正射影を H とする。ベクトル M1M0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) は平面に沿う成分と法線成分 HM0 に分解されるため、距離 d(M0,(P)) = |HM0| は M1M0 の法線ベクトル n = (A,B,C) へのスカラー射影の絶対値に等しい。

その大きさは |n . M1M0| / |n| = |A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1)| / sqrt(A^2+B^2+C^2) である。

絶対値の中の -(Ax1 + By1 + Cz1) を D に置き換えれば |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2+B^2+C^2) が得られ、証明が完了する。

この定理を使うトピック

空間における座標

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。