等差数列の第 $n$ 項までの和

和を順方向と逆方向に、項ごとに並べて書く。$S_n = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1$ はまったく同じ和を逆順に並べたものにすぎないので、これを順方向の和 $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ のすぐ下に書き、2 つの等式を列ごとに足し合わせることは正当である。

この足し合わせの第 $k$ 列を見ると、それは $u_k+u_{n+1-k}$ である。$u_k=u_1+(k-1)d$ かつ $u_{n+1-k}=u_1+(n-k)d$ なので、これらを足すと $u_k+u_{n+1-k}=2u_1+(n-1)d=u_1+u_n$ となる。つまり $n$ 個すべての列が、$k$ に関係なくちょうど同じ値 $u_1+u_n$ を与える——これが上で述べた打ち消し合いそのものである。

$n$ 個の列すべてを合計すると $2S_n = n(u_1+u_n)$ が得られる。なぜなら左辺は $S_n+S_n$ であり、右辺は定数 $u_1+u_n$ の $n$ 個分だからである。

両辺を $2$ で割ると $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ が得られる。ここに $u_n=u_1+(n-1)d$ を代入して展開すると、$u_n$ が未知のときに便利な第二の形 $S_n=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$ が得られる。この議論では $0$ になり得る量で割ることは一度もなく、また $n$ が偶数であるとも仮定していない(この組み合わせは要素どうしの物理的な対にする操作ではなく、純粋に列ごとの代数的加法である)ので、すべての $n\geq 1$ に対して成り立つ。