等比数列の和(有限・無限)

定義 $S_n = u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}$ から始める。両辺に $q$ を掛けると $qS_n = u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}+u_1q^n$ となる。$qS_n$ の項は、最後の項 $u_1q^n$ を除いて、すでに $S_n$ の中に 1 つずれた形で現れている。

差を取る:$S_n-qS_n$ は共通する項 $u_1q,u_1q^2,\dots,u_1q^{n-1}$ をすべて打ち消し、$S_n$ の最初の項(すなわち $u_1$)から $qS_n$ の最後の項(すなわち $u_1q^n$)を引いたものだけが残る。これによりちょうど $(1-q)S_n = u_1 - u_1 q^n$、すなわち $(1-q)S_n=u_1-u_1q^n$ が得られる。

$q\neq 1$ ならば、両辺を $1-q$ で割る(($1-q\neq 0$ なので正当)と $S_n = u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)$ が得られる。逆に $q=1$ の場合、望遠鏡式の等式は $0\cdot S_n=0$ となり何の情報も与えないので、この場合は定義から直接処理する必要がある:すべての項が $u_1$ に等しいので $S_n=nu_1$ となる。

最後に $|q|<1$ とし、公式 $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ で $n\to\infty$ とする:$|q|<1$ ならば $n$ が大きくなるにつれ $q^n\to 0$ となるので、分子 $1-q^n\to 1$ となり、$S_n\to \dfrac{u_1}{1-q}$ となる。この極限がまさに $S = \dfrac{u_1}{1-q}\quad (|q|<1)$、すなわち無限等比級数の和である。逆に $|q|\geq 1$ の場合は $q^n$ が $0$ に縮小しない(大きさが増大するか一定のままである)ため、この場合、無限和は有限の数として存在しない。