相異なる固有値の固有ベクトルは一次独立である

$k$ に関する帰納法で示す。$k = 1$ のとき主張は自明である:零でない1つのベクトルは常に一次独立である。

$k - 1$ 個の相異なる固有値については結果が成り立つと仮定し、背理法のため $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ が一次従属であると仮定する。すると $c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ という関係式が存在し、すべての $c_i$ が零というわけではない。

両辺に $A$ を適用すると、$A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$ より $c_1 \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ が得られる。元の関係式に $\lambda_k$ を掛けてこの新しい式から引くと、$\mathbf{v}_k$ を含む項がちょうど打ち消し合い、$c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{v}_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0}$ が残る。

帰納法の仮定より $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_{k-1}$ は一次独立なので、この最後の関係式の係数はすべて零でなければならない:$i < k$ について $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$。固有値は互いに相異なるので $\lambda_i - \lambda_k \neq 0$ であり、$i < k$ のすべてで $c_i = 0$ となる。

これを元の関係式に戻すと $c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ だけが残り、固有ベクトルの定義より $\mathbf{v}_k \neq \mathbf{0}$ なので $c_k = 0$ も成り立つ。すべての係数が零となり、すべての $c_i$ が零ではないという仮定に矛盾する。したがってそのような従属関係は存在せず、固有ベクトルは一次独立である。