実対称行列に対するスペクトル定理

まず補題を述べる:実対称行列の固有値はすべて実数である。$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ で $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ が複素数であってもよいとし、共役転置 $\mathbf{v}^{*}$ を用いて $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v}$ を考える。$A$ が実対称であるから $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v} = (\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v})^{*}$ となり、この量は実数である。一方これは $\lambda \, \mathbf{v}^{*}\mathbf{v}$ にも等しく、$\mathbf{v}^{*}\mathbf{v} > 0$ は正の実数であるから、$\lambda$ 自身も実数でなければならない。

次に $n$ に関する帰納法で定理を証明する。$n = 1$ の場合は自明である:$1 \times 1$ 行列はすでに対角行列であり、$Q = (1)$ とすればよい。

帰納段階として、サイズ $n - 1$ のすべての実対称行列について定理が成り立つと仮定する。$A$ は $n \times n$ の実対称行列であるから、補題によりその特性多項式は実根 $\lambda_1$ を持つ。対応する固有ベクトルを選び、単位ベクトル $\mathbf{v}_1$ に正規化する。

$\mathbf{v}_1$ が張る直線の直交補空間を $W$ とする。これは $(n-1)$ 次元の部分空間である。$W$ が $A$ で不変であることを示す:任意の $\mathbf{w} \in W$（すなわち $\mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$）に対し、$(A\mathbf{w})^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$ が成り立つ（中間の等号で $A$ の対称性を用いた）。よって $A\mathbf{w}$ も $\mathbf{v}_1$ に直交し、$A\mathbf{w} \in W$ である。

$W$ の正規直交基底を選ぶと、この基底における $A$ の $W$ への制限は $(n-1) \times (n-1)$ 行列 $A'$ で表され、$A'$ もまた対称である（$A$ が対称であり、対称双線形形式を部分空間へ制限しても正規直交基底の下では対称性が保たれるため）。帰納法の仮定により、$A'$ は $W$ 内に正規直交な固有ベクトルの基底 $\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ を持ち、実固有値 $\lambda_2, \dots, \lambda_n$ に対応する。$W$ が $A$ 不変であるから、これらは $A$ 自身の正真正銘の固有ベクトルでもある。

$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ を集めると、$A$ の固有ベクトルのみからなる $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底が得られる。これらを行列 $Q$ の列として並べると $Q$ は直交行列となり、$AQ = Q\Lambda$（$\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$）が成り立つ。直交行列については $Q^{-1} = Q^\top$ であるから、これはまさに $A = Q \Lambda Q^\top$ と書き直せ、帰納法が完成する。