中心極限定理による平均の信頼区間

中心極限定理により、$\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$ は $n$$\to\infty$ のとき分布収束で $N(0,1)$ に近づく。よって $n$ が大きいとき、$-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \le z_{\alpha/2}$ が確率およそ $1-\alpha$ で成り立つ。ここで $z_{\alpha/2}$ は $N(0,1)$ の各裾に確率 $\alpha/2$ を残す値である。

不等式の三辺すべてに $\frac{\sigma}{\sqrt n}$$>0$ を掛ける(不等号の向きは変わらない):$-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \bar X - \mu \le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$。

$\bar X$ をすべての辺から引き、$-1$ を掛ける(不等号の向きが反転する):$\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \mu \le \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$。これはまさに信頼区間の式である:元の確率の主張が確率およそ $1-\alpha$ で成り立っていたので、並べ替えたこの区間も同じ確率で $\mu$ を含む。