標本平均は不偏である

定義より $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ である。期待値は線形作用素なので、和と定数係数 $\frac{1}{n}$ の上に分配できる:$E[\bar X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i]$。

各 $X_i$ は同じ母集団から得られるため、$n$ 個の項それぞれについて $E[X_i] = \mu$ となり、和は $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n}(n\mu) = \mu$ に帰着する。

したがって、任意の標本サイズ $n$ に対して $E[\bar X] = \mu$ となる:標本が小さくても大きくても標本平均は不偏である。これは標本分布の中心についての主張にすぎない -- その広がり、すなわち $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2/n$ は $n$ が大きくなるにつれて依然として狭まっていき、それが以下の信頼区間で使われる。