特別な場合 $k=3$:ファン・デル・コルプットの定理

第1段階(指数和による重み付き計数)。$S(\theta) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) e(\theta n)$ と書く。すべての項が $\le N$ である3項数列 $p_1 + p_3 = 2p_2$ の重み付き個数は、指数関数の直交性により $\int_0^1 S(\theta)^2 S(-2\theta) \, d\theta$ に等しい。

第2段階(主要弧)。$q$ が小さい有理数 $\theta \approx a/q$ の近くでは、$S(\theta)$ は算術級数中の素数定理によってよく近似される。これらの寄与を合計するとハーディ・リトルウッドの主要項 $\mathfrak{S}(N) \, N^2 / \log^3 N$ が得られ、特異級数 $\mathfrak{S}(N)$ は法 $q$ での素数の局所密度にのみ依存する正の定数である。

第3段階(副次弧)。分母の小さい有理数から離れた場所では、Vinogradovの評価により $S(\theta)$ は素数にわたる和の中でのキャンセルを用いて任意の固定された $A$ に対し $O(N (\log N)^{-A})$ で抑えられる。この評価を副次弧上で積分すると、それらの寄与の合計が $o(N^2/\log^3 N)$ であることが分かる——主要弧の主要項に比べて無視できる。

第4段階(結論)。主要弧の主要項 $\mathfrak{S}(N)\,N^2/\log^3 N$ が無視できる副次弧の誤差を上回るため、3項数列の重み付き個数は $N^2/\log^3 N \to \infty$ のように増大し、したがって素数からなる3項等差数列が無限に(かつ漸近的に多く)存在する——一般の場合が解決されるまさに65年前のことである。