フォン・ノイマンのミニマックス定理

弱双対性。 任意の固定した $x_0 \in \Delta_m$ と $y_0 \in \Delta_n$ に対して: $\min_y x_0^\top A y \le x_0^\top A y_0 \le \max_x x^\top A y_0$。左辺の $\max_{x_0}$ と右辺の $\min_{y_0}$ を取っても不等式は保たれる: $\max_x \min_y x^\top A y \le \min_y \max_x x^\top A y$。この向きはランダム化の議論をまったく必要としない。

線形計画への帰着。 $y \mapsto x^\top A y$ は線形であるため、単体 $\Delta_n$ 上でのその最小値はある頂点、すなわちある純粋戦略 $j$ で達成される: $\min_y x^\top A y = \min_{j} \sum_{i=1}^m x_i A_{ij}$。よって行プレイヤーの問題 $\max_x \min_y x^\top A y$ は次の線形計画である: $v$ を最大化、制約は $\sum_{i=1}^m A_{ij} x_i \ge v$（すべての $j = 1, \dots, n$ について）、かつ $x \in \Delta_m$。

双対問題。 線形計画の標準的な双対理論により、この線形計画の双対は: $w$ を最小化、制約は $\sum_{j=1}^n A_{ij} y_j \le w$（すべての $i = 1, \dots, m$ について）、かつ $y \in \Delta_n$ — これはまさに列プレイヤーの問題 $\min_y \max_x x^\top A y$ の線形計画による定式化である。

強双対性。 主問題と双対問題の実行可能領域（$\Delta_m$ と $\Delta_n$）はともに空でなくコンパクトであるため、この線形計画は実行可能かつ有界である；線形計画の強双対定理により主問題と双対問題の最適値は一致する: $\max_x \min_y x^\top A y = \min_y \max_x x^\top A y$。この向きにすでに $\le$ を与えていた弱双対性と合わせて、等号が成り立ち、定理が証明される。