ベイズの定理

第1段階($P(B_i \cap A)$ を2通りに書く):乗法の法則を両方向に適用すると、$P(B_i \cap A) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ であり、また $P(A) > 0$ なので $P(B_i \cap A) = P(A) \cdot P(B_i \mid A)$ でもある。

第2段階(2つの式を等しいとおいて解く):$P(B_i \cap A)$ の2つの式を等しいとおくと $P(A) \cdot P(B_i \mid A) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ となり、両辺を $P(A)$ で割ると $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{P(A)}$ が得られる。

第3段階(全確率の定理で分母を展開する):$B_1, \ldots, B_n$ が $\Omega$ を分割するので、全確率の定理より $P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)$ である。

第4段階(代入して完成させる):第2段階の $P(A)$ をこの和で置き換えると、ちょうど $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}$ が得られ、これがベイズの定理である。